Bài 1:Cho dãy $a_n$ thỏa mãn: $0<a_n<2000.30^{4^n}$, $x_n=\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_n}}}}$. Chứng minh $x_n$ hội tụ.
Giải:
Gọi $y_n$ là dãy thỏa mãn: $y_n=7.30^{4^{n-1}}$$ \Rightarrow y_n^4> y_n+a_n$
$x_n=\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_n}}}}<\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_n+y_n}}}}<\sqrt[4]{a_1+\sqrt[4]{a_2+\sqrt[4]{..+\sqrt[4]{a_{n-1}+y_{n-1}}}}}$
$<..<\sqrt[4]{a_1+y_1}$
Vậy $x_n$ bị chặn và tăng nên hội tụ
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét