Mối liên hệ giữa điểm Fermat và điểm đẳng động

• Nhắc lại điểm Fermat :

Cho tam giác ABC. Dựng theo hướng ngoài 3 tam giác đều ABD, ACE, BCG. Ba đường

tròn (ABD),(ACE),(BCG) đồng quy tại điểm F gọi là điểm Fermat thứ nhất của tam giác

ABC

Nếu dựng theo hướng trong thì F gọi là điểm Fermat thứ hai của tam giác ABC

Khái niệm về hai điểm liên hợp đẳng giác: Cho điểm M bên trong tam giác ABC. Khi

đó các đường thẳng đối xứng của các đường thẳng AM.BM, CM qua tia phân giác đồng

quy tại M'

. Điểm M' được gọi là điểm liên hợp đẳng giác của điểm M trong tam giác ABC

Ngoài ra: $\angle BMC+ \angle BM'C=(180^o- \angle MBC -\angle MCB)+(180^o -\angle M'BC- \angle M'CB) $
$ =(180^o -\angle M'BA -\angle M'CA )+(180^o- \angle M'BC -\angle M'CB) \\ =360-\angle B- \angle C=180^o + \angle A$

Ta có định lý sau: Điểm đẳng động và điểm Fermat là hai điểm liên hợp đẳng giác

Gọi LMN là tam giác đều thủy túc của điểm đẳng động thứ nhất J. Do các tứ giác

JMAN, JNBL, JLCN nội tiếp được nên ta có : $\angle BJC= \angle BJL +\angle LJC =\angle BNL + \angle LMC =\\ 180 - ( \angle LNJ + \angle JNA ) +180^o - \angle LMJ -\angle JMA =180^o- ( \angle LNJ + \angle LMJ) \\ =60^o + \angle JNM + \angle JMN =60^o + \angle JAM + \angle JAN =\angle BAC +60^o$

Mà $ \angle BFC =120^o$ nên : $\angle BFC + \angle BJC =180 ^o + \angle A $

Chứng tỏ F liên hợp đẳng giác của J