Toán học sơ cấp: Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức có điều kiện

Thứ Bảy, 15 tháng 10, 2016

Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức có điều kiện

Mộtt số kỹ thuật đổi biến

1.1 Điều kiện ${a,b,c\geqslant 0}$ và $abc=1$

Trong trường hợp cần đổi biến thi có các cách đổi biến thường gặp sau

Đổi biến ${a=\frac{x}{y}}$ , $b=\frac{y}{z}$ , $c=\frac{z}{x}$
Đổi biến ${a=\frac{x^n}{y^n}}$ , $b=\frac{y^n}{z^n},$ $c=\frac{z^n}{x^n}$
Đổi biến $a=\frac{xy}{z^2}$ , $b=\frac{yz}{x^2}$ , $c=\frac{zx}{y^2}$
Đổi biến $a=\frac{x^ny^n}{z^{2n}}$ , $b=\frac{y^nz^n}{x^{2n}}$ , $c=\frac{z^nx^n}{y^{2n}}$
Đổi biến ${a=\frac{1}{x}}$ , $b=\frac{1}{y}$ , $c=\frac{1}{z}$
Đổi biến ${a=\frac{1}{x^n}}$ , $b=\frac{1}{y^n}$ , $c=\frac{1}{z^n}$
Đổi biến $a=lnx$ , $b=lny$ , $c=lnz$

(Điều kiện các biến dương chỉ dùng khi cần thiết)

1.2. Điều kiện ${xyz=x+y+z}$

Đổi biến ${x=tanA}$ , ${y=tanB}$ , ${z=tanC}$
Đổi biến ${x=cot\frac{A}{2}}$ , ${x=cot\frac{B}{2}}$ , ${x=cot\frac{C}{2}}$
Đổi biến ${x=\frac{1}{a}}$ , $y=\frac{1}{b}$ , $z=\frac{1}{c}$

1.3. Điều kiện ${\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z}$ . Đổi biến : ${x=\sqrt{\frac{bc}{a}}}$ , ${y=\sqrt{\frac{ca}{b}}}$ , ${z=\sqrt{\frac{ab}{c}}}$

1.4. Điều kiện ${ab+bc+ca=\sqrt{abc}}$ . Đổi biến : ${x=\sqrt{\frac{bc}{a}}}$ , ${y=\sqrt{\frac{ca}{b}}}$ , ${z=\sqrt{\frac{ab}{c}}}$

1.5. Điều kiện ${xyz=x+y+z+2}$ .

Đổi biến $a=\frac{1}{y+1}$ , $b=\frac{1}{y+1}$ $c=\frac{1}{z+1}$
Đổi biến ${x=\frac{b+c}{a}}$ , ${y=\frac{c+a}{b}}$ , ${z=\frac{a+b}{c}}$ , ${a,b,c\geq 1}$

1.6. Điều kiện ${x+y+z+xyz=4}$

Đổi biến ${x=\frac{2a}{b+c}}$ , ${y=\frac{2b}{c+a}}$ , ${z=\frac{2c}{a+b}}$
Đổi biến ${a=\frac{1}{x+2}}$ , ${b=\frac{1}{y+2}}$ , ${c=\frac{1}{z+2}}$
${\sqrt{xy}=2cosA}$ , ${\sqrt{yz}=2cosB}$ , ${\sqrt{zx}=2cosC}$

1.7. Điều kiện ${x^2+y^2+z^2=1}$ Đổi biến $a=\frac{xy}{z}$ , $b=\frac{yz}{x}$ , $c=\frac{zx}{y}$ . Khi đó ta sẽ có $ab+bc+ca=1$

1.8. Điều kiện ${xy+yz+zx=1}$ Đổi biến ${x=tan\frac{A}{2}}$ , ${y=tan\frac{A}{2}}$ , ${z=tan\frac{A}{2}}$

1.9. Điều kiện ${xy+yz+zx=xyz}$ Đổi biến ${a=\frac{1}{x}}$ , $b=\frac{1}{y}$ , $c=\frac{1}{z}$

1.10. Điều kiện ${x^2+y^2+z^2+2xyz=1}$ Đổi biến x=cosA, y=cosB, z=cosC

Bài tập áp dụng

Bài 1. Cho ${x,y,z}$ là các số thực dương thỏa mãn ${x+y+z=xyz}$ . Chứng minh rằng

${\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{3}{2}}$

Lời giải 1 . (Dùng đổi biến)

Đặt ${x=tanA}$ , ${y=tanB}$ , ${z=tanC}$ . Từ giả thiết ta có A,B,C là 3 góc của một tam giác và yêu cầu bài toán trở thành: chứng minh rằng ${CosA+CosB+CosC\leq \frac{3}{2}}$ . Đây là một bất đẳng thức cơ bản trong tam giác có nhiều cách chứng minh. Chẳng hạn theo bđt Jensen ${CosA+CosB+CosC\leq 3Cos\frac{A+B+C}{3}=\frac{3}{2}}$

Lời giải 2. (Dùng AM_GM)

${VT=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{xyz}{x^2\left ( x+y+z \right )+xyz}}=\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{yz}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{x}{x+y}=\frac{3}{2}}$

Nhận xét: Lời giả 1 dễ dàng hơn trong suy luận, Lời giải 2 cần sự tinh tế hơn trong biến đổi

Bài 2. Cho các số thực dương ${a,b,c}$ có ${abc=1}$ . Chứng minh rằng ${\sum \frac{a}{a^2+2}\leq 1}$

Lời giải. Đặt ${x=\frac{1}{a}}$ , $y=\frac{1}{b}$ , $z=\frac{1}{c}$ . Áp dụng AM-GM ${\sum \frac{a}{a^2+2}\leq \sum \frac{a}{2a+1}=\sum \frac{1}{x+2}}$ . Ta cần chứng minh ${\sum \frac{1}{x+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum xy\geq 3}$ . Điều này hiển nhiên vì ${xyz=1}$

Bài 3. Cho các số thực ${a,b,c}$ có ${abc=1}$ . Chứng minh rằng ${\sum \frac{a+1}{a^2+a+1}\leq 2}$

Lời giải. Đặt $a=\frac{yz}{x^2}$ , $b=\frac{zx}{y^2}$ , $c=\frac{xy}{z^2}$ . Bất đẳng thức đã cho trở thành cần chứng minh ${\sum_{cyclic}\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geq 1}$ . Áp dụng bđt CBS ta có ${\sum_{cyclic}\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{\sum_{cyclic}\left ( x^4+x^2yz+y^2z^2 \right )}\geq 1}$ . Điều này hiển nhiên vì bđt cuối cùng tương đương với ${\sum_{cyclic}\left ( x^2y^2 \right )\geq xyz\left ( x+y+z \right )}$

Bài 4. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${x+y+z+xyz=4}$ . Tìm hằng số k tốt nhất sao cho ${x^2+y^2+z^2+3k\geq \left ( k+1 \right )\left ( x+y+z \right )}$

ĐS ${k=2\sqrt{2}+1}$

Bài 5. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${x+y+z+xyz=4}$ .Chứng minh rằng ${3\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}} \right )^2\geq \left ( x+2 \right )\left ( y+2 \right )\left ( z+2 \right )}$

Bài 6. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${x+y+z+2=xyz}$ .Chứng minh rằng

${xy+yz+zx\geq 2\left ( x+y+z \right )}$
${\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}\sqrt{xyz}}$

Bài 7. Cho các số thực dương ${x,y,z}$ thỏa mãn điều kiện ${xy+yz+zx=\sqrt{xyz}}$ .Chứng minh rằng ${x+y+z+\left ( Max\left \{ x,y,z \right \}-Min\left \{ x,y,z \right \} \right )^2\leq \frac{1}{3}}$