Đề bài: Cho m là một số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương n sao cho $m|3.2^n+n$
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh quy nạp theo $m$, rõ ràng $m=1,2,3,4$ là hiển nhiên
Giả sử khẳng định đúng với mọi $m\leq t$ với số nguyên $t>3$
Đặt $d=ord_{t+1}{2}$ và $e=gcd(d,t+1)$, rõ ràng $e\leq d \leq \phi (t+1) \leq t$
Theo nguyên lí quy nạp phải tồn tại vô hạn số nguyên $a$ sao cho $e\mid 3\times 2^a+a$
Đặt $3\times 2^a+a=ef$ ( $f\in \mathbb{Z}^+$ )
Với mọi $g\in \mathbb{Z}^+$ Ta có $3\times 2^{a+dg}+(a+dg) \equiv 3 \times 2^a+a+dg =ef+dg (mod t+1)$
Ta cần chứng minh rằng tồn tại $g\in \mathbb{Z}^+$ sao cho $ef+dg\equiv 0 (mod t+1)$
Tương đương với $gcd(d,t+1) \mid -ef\Leftrightarrow e\mid -ef$ (luôn đúng) 9 (điều kiện cần và đủ của phương trình đồng dư)
vậy ta đã chứng minh tồn tại $n_1=a+dg\in \mathbb{Z}^+$ sao cho $t+1 \mid 3\times 2^{n_1}+{n_1}$
Nhưng vì tồn tại vô số nguyên dương a $a$, ta lấy $a$ lớn hơn $n_1$ ta lại có một số nguyên dương khác thỏa mãn đề bài,
Điều này có nghĩa là tồn tại vô số $n\in \mathbb{Z}^+$ sao cho $t+1\mid 3\times 2^n+n$ Điều phải chứng minh.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét