Đề bài: Cho $a,b,c \ge 0,a+b+c=2$, Chứng minh rằng
$$\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{1+b^2+c^2}+\frac{1}{1+c^2+a^2} \ge \frac{4}{3}$$
Lời giải:
Ta thấy dấu bằng xảy ra khi a=b=1, c=0 và các hoán vị, vì thế ta sẽ đánh giá cho đúng dấu bằng xảy ra
Cách 1: Không mất tính tổng quát giả sử $ a \ge b \ge c \ge 0$
Ta có
$a^2+b^2\leq (a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2$
$b^2+c^2\leq b^2+bc+\frac{c^2}{4}=(b+\frac{c}{2})^2$
$a^2+c^2\leq a^2+ac+\frac{c^2}{4}=(a+\frac{c}{2})^2$
Đặt $b+\frac{c}{2}=x,a+\frac{c}{2}=y$ thì $x+y=2$ Và ta chỉ cần chứng minh
\[\frac{1}{1+x^2+y^2}+\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{4}{3}\]
\[\Leftrightarrow 5+4(x^2+y^2)\geq x^4+y^4+3x^2y^2+4x^2y^2(x^2+y^2)\]
Đặt $x^2+y^2=A,x^2y^2=B$ Thì bất đẳng thức trở thành
$A^2+B+4AB\leq 5+4A$ với $A+2\sqrt{B}=4\Leftrightarrow (4-A)^2=4B$
Như vậy $(A-2)(4A^2-19A+2)\leq 0$ Đúng vì $2\leq A\leq 4$.
Cách 2:
Đặt $p = a+b+c=2,\,q=ab+bc+ca,r=abc$ bất đẳng thước tương đương với
\[4r^2+4(17-8q)r+(1-q)(5+13q-8q^2) \ge 0. \quad (1)\]
Nếu $q \leqslant 1$ $(1)$ đúng
Nếu $q \geqslant 1$ Dùng bất đẳng thức Schur $r \geqslant \frac{8}{9}q-\frac{8}{9}$ Ta cần chỉ ra
\[4\left(\frac{8}{9}q-\frac{8}{9}\right)^2+4(17-8q)\left(\frac{8}{9}q-\frac{8}{9}\right)+(1-q)(5+13q-8q^2) \ge 0,\]
Tương đương
\[\frac{1}{81}(q-1)(648q^2-3101q+4235) \geqslant 0.\]
Rõ ràng đúng.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét