Phương pháp nhân tử Lagrange trong bất đẳng thức

Các bạn có thể coi thêm tại đây http://diendantoanhoc.net/topic/78439-chuyen-d%E1%BB%81ph%C6%B0%C6%A1ng-phap-nhan-t%E1%BB%AD-lagrange/

Sau đây ta sẽ xét tiếp một ứng dụng của nó:

Bài toán: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thay đổi bất kỳ. Chứng minh rằng:

$[a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)]^2 \ge 4(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)$

Lời giải

Đây là một bất đẳng thức 6 biến, nên việc triệt tiêu các biến là rất quan trọng. Nhưng ở đây ta tiếp cận một ý tưởng là không làm mất các biến mà coi một số biến như là hằng số, cụ thể có thể xem x, y, z là các hằng số.

Nhờ vào tính thuần nhất của bất đẳng thức, ta sẽ chuẩn hóa:

$a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)=1$

Nhưng vậy ta chỉ cần chứng minh:

$ab+bc+ca \le\frac{1}{ 4(xy+yz+zx)}$

Ta có hàm nhân tử Lagrange cho biểu thức trên như sau:

$F(a,b,c)=ab+bc+ca-\lambda (a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)-1)$

Bằng cách lấy đạo hàm riêng theo từng biến a,b,c ta có:

$\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial F}{\partial a}=b+c-\lambda (y+z)=0 &  & \\
\frac{\partial F}{\partial b}=a+c-\lambda (x+z)=0 &  & \\
\frac{\partial F}{\partial c}=b+a-\lambda (y+x)=0 &  &
\end{matrix}\right.$

Ta đây suy ra:

$\frac{b+c}{y+z}=\frac{a+c}{z+x}=\frac{a+b}{x+y} \Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

thay vào điều kiện chuẩn hóa, tìm được a,b,c và thay vào bất đẳng thức ta thấy đúng. Vậy ta có đpcm

Hoặc như đã nói ở bài trước ta đã có điểm rơi của a,b,c bây giờ chỉ cần đánh giá cho đúng điểm rơi:

$a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)=(a+b+c)(x+y+z)-(ax+by+cz)\ge(a+b+c)(x+y+z)-\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}>0$

Vậy tachỉ cần chứng minh:
$(a+b+c)(x+y+z)-\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)} \ge \sqrt{4(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)}$

Cuối cùng để ý điều sau, ta thấy ngay bất đẳng thức là một hệ quả trực tiếp của C-S:

$(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)$

$(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+(2xy+2yz+2zx)$

Như vậy chỉ cần C-S (a+b+c)(x+y+z) ta có đpcm.