Bài toán: Tìm số tự nhiên n lớn nhát sao cho tồn tại n số nguyên không âm $x_1,x_2,..x_n$ không đồng thời bằng 0, sao cho với mọi $\varepsilon _1, \varepsilon _2,..\varepsilon _n$ $\in$ {-1;0;1} không đồng thời bằng 0 sao cho $n^3$ không chia hết cho $\varepsilon _1x_1+\varepsilon _2x_2+..\varepsilon _nx_n$
Lời giải.
Với n=9 ta chọn $1,2,2^2,..2^8$
Khi đó: $| \varepsilon _1+..+2^9\varepsilon _9|\le 1+2+..2^8<9^3$
Nếu $n\ge10$ không mất tính tổng quát, giả sử $n=10$ khi đó số tập con của S={$x_1,x_2,..z_10$} là $2^{10}$ và vì $2^{10}>10^3$ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai tập A và B là tập con của S sao cho tổng các phần tử của A có cùng số dư với tổng các phần tử của B.
Khi đó đặt $\varepsilon _i=1$ nếu $x_i$ thuộc A nhưng không thuộc B, $\varepsilon _i=-1$ nếu $x_i$ thuôc B nhưng không thuộc A, bằng 0 trong trường hợp còn lại khi đó:
$\sum \varepsilon _ix_i \vdots n^3$
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét