1: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3+y^2=(x-y)(xy-1) & \\
x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1) &
\end{matrix}\right.$$
Lời giải.
Ta thấy bậc y ở cả hai phương trình đều có bậc 2 nên ta sẽ biểu diễn theo y:
$\left\{\begin{matrix}
y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0 & \\
y^2x-y(x^2+x-1)+x^3-x^2+1=0 &
\end{matrix}\right.$
Ta cần tìm x để khi thay vào ta được hai phương trình tương đương. Tức là hệ số của chúng tỉ lệ;
$\frac{x+1}{x}=\frac{x^2+1}{x^2+x-1}=\frac{x^3+x}{x^3-x^2+1}\Leftrightarrow x=1$
Khi thay x=1 vào các hệ trên:
$\left\{\begin{matrix}
2(y^2-y+1)=0 & \\
(y^2-y+1)=0 &
\end{matrix}\right.$
Suy ra: 2PT(2)-PT(1) sẽ có nhân tử x-1:
$(x-1)(y^2-(x+3)y+x^2-x-2)=0$
Trường hợp x=1, phương trình vô nghiệm
Trường hợp x khác 1, ta được hệ mới:
$\left\{\begin{matrix}
y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 & \\
y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0 &
\end{matrix}\right.$
Tương tự ta được $x=\frac{-1}{2}$
Thay nó vào hệ ta rút ra được:
$2PT(2)-PT(1)=(2x+1)(y^2-(x-1)y+x^2-x+2)=0$
Xét trường hợp $x=\frac{-1}{2}$
...
Xét trường hợp x khác $\frac{-1}{2}$
Ta được hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0 & \\
y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 &
\end{matrix}\right.$
Trừ hai vế cho nhau ta có $y=-1$
Phần còn lại dành cho bạn đọc
Tương tự ta cũng có hệ sau:
$\left\{\begin{matrix}
2(x+y)(25-xy)=4x^2+17y^2+105& \\
x^2+y^2+2x-2y=7 &
\end{matrix}\right.$
Tương tự, nếu ta biểu diễn theo x ta sẽ không tìm được y, nhưng nếu biểu diễn theo y ta tìm được $x=2$, thay $x=2$ vào hệ:
$\left\{\begin{matrix}
21(y^2-2y+1)=0& \\
(y^2-2y+1)=0 &
\end{matrix}\right.$ nên PT(1)-21PT(2)=$(x-2)(2y^2+2xy+4y-17x-126)=0$
Trường hợp x=2 đơn giản, ta xét trường hợp x khác 2:
$\left\{\begin{matrix}
2y^2+2xy+4y-17x-126=0& \\
x^2+y^2+2x-2y-7=0 &
\end{matrix}\right.$
Đến đây phương trình vô nghiệm theo phương pháp uct $3PT(2)-PT(1)=(x-y+5)^2+2x^2+x+80=0$
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét