a) {4,6,12}
b) {x,y,z} với |x-4|, |y-6|, |z-12| đều nhỏ hơn hơn $1/\sqrt{3}$
Giải:
Ta có $(0,6a-0,8b)^2+(0,8a+0,6b)^2=a^2+b^2.$
$3^2+4^2+12^2=13^2$
Suy ra các điểm có dang (a,b,c) nằm trên hình cầu quanh O với bán kính 13
$4^2+6^2+12^2=14^2$ nên không thể đạt được a) Do $4^2+6^2+12^2$ khác đại lượng bất biến đó.
b) Do $(x-4)^2+(y-6)^2+(z-12)^2<1$ nên
Nhận xét: Điều quan trọng bất biến ở đây là khoảng cách từ điểm (a,b,c) đến O.
2) Cho bàn cờ 8x8 được tô trắng đen. Hỏi có thể tô sao cho còn một ô đen không, nếu:
a) Đổi màu lại tất cả ô trong 1 hàng hoặc cột.
b) Đổi màu lại (trắng thành đen, đen thành trắng) tất cả các ô của ô vuông 2x2 bất kì.
Giải:
a) Chọn một hàng và một cột giả sử ô đó có b đen và 8-b trắng thì sau khi đổi sẽ có b trnawgs và 8-b đen. số lượng ô đen thay đổi bằng |(8-b)-b| là một số chẵn. Nên tính chẵn lẻ của số ô đen không đổi. 1 ô đen là số chẵn. Ban đầu có số chẵn ô đen nên không được.
b) Giả sử ô 2x2 có 1 ô đen, 2 ô đen, 3 ô đen, 4 ô đen thì chứng minh rằng sau khi đổi màu số ô đen cũng là số chẵn nên ta có đáp án cũng là không được.
Lưu ý: bàn cờ ta xét được tô trắng đen như bàn cờ vua.
3) Trên vòng tròn có 5 số 1 và 4 số 0 được sắp xếp tùy ý. Sau đó ta thực hiện phép biến đổi sau. Giữa hai số giống nhau điền số 0, giữa hai số khác nhau điền số 1. Cuối cùng xóa 9 số ban đầu đi ta được 9 số mới. Chứng minh sau hữu hạn bước không thể có 9 số 0.
Giải
Ta sẽ đi ngược:
(0,0,..0) <- (1,1,1....1) <-(1,0,1,0,..1,0) phải có tổng số số 0 và 1 là số chẵn mà 4+5=9 nên không tồn tại.
4) Cho bảng hình chữ nhật, mỗi ô ta ghi một số nguyên dương. Với mỗi bước, bạn có thể nhân đôi tất cả các số trên hàng hoặc giảm 1 từng số của cột nào đó. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước ta sẽ thu được bảng toàn chữ số 0.
Giải
Xét cột đầu tiên. Nếu số nhỏ nhất côt đó không phải 1 ta giảm cho bằng 1. Nếu có một số số 1 ở cột đó thì ta nhân hai tất cả các số tương ứng ở hàng chứa số 1. Rồi sao đó giảm 1 đơn vị ở cột đầu tiên. Cứ như vậy ta sẽ thu được cột đầu tiên tất cả chữ số 1. Rồi giảm 1 đơn vị ta sẽ có tất cả số 0 cho cột. Tương tự cột tiếp theo
5) Một hàng ta viết 1000 số nguyên. Dưới mỗi số a ở hàng đầu, là một số nguyên f(a) sao cho f(a) là số lần xuất hiện của a ở hàng đầu. Tương tự ta có hàng thứ 3 từ hàng thứ 2,vv, Chứng minh rằng, cuối cùng sẽ có một hàng giống y như hàng trước nó.
Giải:
Như hình vẽ ví dụ, ta thấy rằng dưới chữ số a của hàng 2 thì sẽ có số b ở hàng 3 sao cho $b \ge a$
Ta có dãy trên là dãy tăng như lại bị chặn trên nên sẽ có một hàng y hệt hàng trước.
6) Một bàn cờ vua 8x8. Mỗi bước, có thể chọn 4x4 hoặc 3x3 và cộng thêm 1 vào mỗi số nguyên trong hình vuông đó ( Bàn cờ vua có điền số nguyên). Hỏi có thể luôn luôn nhận được một bàn cờ với:
a) tất cả các số đều chia hết cho 2 ?
b) tất cả các số đều chia hết cho 3 ?
Giải:
a) Ta đặt S là tổng các số trong ô vuông trừ hàng 3 và hàng 6 thì số dư của S mỗi lần thay đổi là bất biến. Nên nếu tổng lúc đầu lẻ thì ta không thu được (Số dư S cho 2)
b) Tương tự ta đặt S là tổng các số trong ô vuông trừ hàng 4 và 8 thì số dư của S cho 3 mỗi lần thay đổi là bất biến nên nếu tỏng S không chia hết cho 3 ta cũng có đpcm
7) Cho (m,n)=1. Bắt đầu với m số nguyên, chọn n số nguyên trong chúng và cộng một vào mỗi số (n<m). Hỏi sau một số lần lặp lại thì có thể nhận được m số nguyên toàn bằng nhau không ?
Giải:
Có. Theo định lí bezout ta có: nx=my+1. Giờ ta viết $x_1,..x_m$ trên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ và $x_1 \le x_2 \le..\le x_m$. Ta bắt đầu từ$x_1$ tới $x_n$ tăng 1 đơn vị như vậy một số lần ta sẽ có tất cả các số đều tăng 1 đơn vị như còn dư một số$x_m$. Như vậy $x_{max}-x_{min}$=1 như vậy sau một số lần nó sẽ giảm đến 0 và ta có đpcm.
8) Các số 1,2..2n được xếp theo thứ tự tùy ý vào các nơi được đánh dấu sẵn: 1,2 ..2n. Giờ ta cộng số ô đánh dấu và số trong ô đánh dấu. Chứng minh rằng bao giờ cũng có hai tổng có cùng số dư khi chia cho 2n.
Giả sử không có, thì các tổng có số dư là 0,1,2,3..2n-1.
Tổng tất cả các tổng đó bằng: 2(1+2+..2n-1)=2n(2n+1) chia hết 2n
Tổng các số dư khi cho cho 2n lại bằng n(2n-1) không chia hết cho 2n
Vô lí, vậy ta có đpcm
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét