Về hai bài số học trong kì thi vô địch Nga

Bài 1: Tìm số nguyên dương không âm n có đúng 12 ước số, $1=d_1<d_2...<d_{12}=n$ mà $d_{d_4-1}=(d_1+d_2+d_4)d_8$.

Hướng giải.

Theo giả thiết nên tồn tại $i$ sao cho

$d_i=d_1+d_2+d_4$. Vì $d_i >d_4$ nên $13>i>4$

Hiển nhiên ta có: $d_jd_{13-j}=n$ với mọi j và vì $d_id_8=d_{d_4-1}$ suy ra $i \le 5$ vì thế i=5 suy ra $d_4=13$ ta có $d_5=14+d_2$. Do $d_2$ lại là số nguyên tố nhỏ nhất của n mà $d_4=13$

Xét các trường hợp ta có $d_2=3$.

Từ đây dễ dàng tính được $n=1989$ là một nghiệm của bài toán

Bài 2: Tìm tất của các số nguyên dương lẻ n lớn hơn 1 sao cho với mọi a,b là ước của n $(a,b)=1$ thì $a+b-1 $ là ước của n

Hướng giải.

Dễ thấy n là luỹ thừa của một số nguyên tố thì thoả mãn.

Xét $n=p^r.s$ $(p,s)=1$  và p là số nguyên tố nhỏ nhất.

$p+s-1 |n$, xét q là ước nguyên tố của s thì:
$s<p+s-1<s+q$ nên$q \not |p+s-1$. Vì thế $p+s-1=p^c$  suy ra $s=p^c-p+1$ và vì $(p^c,s)=1$ nên $p^c+s-1=2p^c-p | n$. Suy ra $2p^{c-1}-1 | s$ (do không thể là ước của $p^r$) Thay s vào và ta nhận được điều vô lý.