1) Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng:
$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge3 (a+b+c)^2$
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$(a+b+c)^2\le(a^2+2)(1+(b+c)^2/2)$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$(b^2+2)(c^2+2) \ge 3[1+(b+c)^2/2]$
Tương đương:
$(bc-1)^2+(b-c)^2/2 \ge 0$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
bất
Ta có thể chắc chắn làm cách này là do tín độc lập của 3 biến a,b,c nên có thể xảy ra đẳng thức khi $a=2/(b+c)$ (điểm rơi C-S) Vì nếu nó đúng với mọi a,b,c thì cũng phải đúng với điểm a như thế.
2) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a,b,c bất kì:
$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \ge (ab+bc+ca-1)^2$ (Indo TST 2007)
Lời giải:
$VP=(a(b+c)+(bc-1)^2]^2\le(a^2+1)((b+c)^2+(bc-1)^2)$
Mà $(b+c)^2+(bc-1)^2=(b^2+1)(c^2+1)$
Vậy ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a+b+c=abc$
3) Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn:
$\prod (a^2+1)=16$
Chứng minh bất đẳng thức:
$-3 \le ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd \le 5$ (Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu)
Lời giải:
BDT tương đương:
$( \sum ab-abcd-1)^2\le 16$
Dùng C-S:
$[a(b+c+d-bcd)+(bc+cd+db-1)^2] \le (a^2+1)[(b+c+d-bcd)^2+( bc+cd+db-1)^2]$
Mà: $(b+c+d-bcd)^2+( bc+cd+db-1)^2=(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$
Ta có đpcm.
4) Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta đều có:
$ \sum \sqrt{a(b+1)} \le \frac{3}{2}\sqrt{\prod (a+1)}$
Từ VT ta sẽ dùng C-S cho $\sqrt{ (a+1)} $ xuất hiện:
$\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)} \le \sqrt{(a+1)[(b+1)+b(c+1)]}$
Như thế ta chỉ cần chứng minh:
$\sqrt{b(c+2)+1}+\sqrt{c} \le \frac{3}{2}\sqrt{(b+1)(c+1)}$
$\Leftrightarrow \sqrt{bc+2b+1}+\sqrt{c}\le\sqrt{[bc+2b+1+(c+1)][1+\frac{c}{c+1}]}=\sqrt{\frac{(b+1)(c+2)(2c+1)}{c+1}}$
Như vậy chỉ còn chứng minh:
$\sqrt{\frac{(c+2)(2c+1)}{c+1}}\le\frac{3}{2}\sqrt{c+1}$
Dễ chứng minh bằng tương đương.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét