1/ (Mỹ) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n \ge 2$ đều tồn tại một tập S gồm n số nguyên thoả mãn $(a-b)^2$ là ước của ab với mọi a,b thuộc S phân biệt.
2/ ( Trung Quốc) Tìm số nguyên không âm K nhỏ nhất sao cho với mọi tập con K- phần tử của tập hợp {1,2,..50} tồn tại hai phần tử a,b phân biệt mà a+b là ước của ab
Giải
1/ Ta chứng minh bằng quy nạp rằng với mỗi số nguyên dương n đều tồn tại một tập hợp $S_n$ gồm n phần tử thoả mãn điều kiện đã cho.
Với n=2 chọn $S_2$={0,1}. Giả sử khẳng định đã đúng đến n. Ta chứng minh khẳng định đúng với n+1. Gọi L là BCNN của các số khác 0 có dạng $(a-b)^2$ và ab trong đó $a,b \in S_n$. Đặt:
$S_{n+1}$={$s+L: s \in S_n$} $\cup ${0}
Khi đó, vì $L \ge 0$ nên $S_{n+1}$ chứ n+1 phần tử phân biệt không âm. Ta chứng minh tập $S_{n+1}$ thoả mãn.
Lấy u,v, bất kì. Nếu trong u,v có một số bằng 0 thì hiển nhiên. Nếu u,v đều khác 0 thì tồn tại hai phần tử a,b thuộc S sao cho
$u=L+a, v=L+b.$
Từ các chọn ta có $uv \vdots (u-v)^2$. Vậy ta đã chứng minh với n+1. Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm
2/ Giá trị nhỏ nhất của k=39. Cho a,b thuộc S thoả mãn a+b chia hết ab. Đặt $c=(a,b), a=ca_1, b=cb_1$ thì $(a_1,b_1)=1$ Khi đó $c(a_1+b_1)$ chia hết $c^2a_1b_1$ Suy ra $a_1+b_1$ chia hết $ca_1b_1$. Vì $a_1, b_1$ không có ước chung nên $a_1+b_1$ không chia hết $a_1$ và $b_1$. nên c chia hết cho $a_1+b_1$.(1)
Vì S là tập con {1,..,50}, ta có $a+b \le 99$, vì thế $c(a_1+b_1) \le 99$, từ (1) suy ra $a_1+b_1 \le 9$ mặt khác, $a_1+b_1 \ge 3$ từ đây ta tìm được các cặp (a,b):
(6, 3); (12, 6); (18, 9); (24, 12); (30, 15); (36, 18); (42, 21); (48, 24);
(12, 4); (24, 8); (36, 12); (48, 16)
(20, 5), (40, 10), (15, 10), (30, 20), (45, 30)
(30, 6)
(42, 7), (35, 14), (28, 21)
(40, 24)
(45, 36)
Có 23 cặp, 24 số. Còn lại 26 số. Suy ra K>26. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của K-26 sao cho ta sẽ chọn được hai số trong 24 số thuộc 1 cặp. Ta tìm được giá trị 13 là nhỏ nhất .Thật vậy, giả sử nhỏ hơn 12 thì ta chọn 26 số đó với các số sau đây 3,4,5,7,8,9,10,14,16,28,30,36.
Vậy K nhỏ nhất là 39.
Blog này tổng hợp các bài toán hay, các bài giảng chọn lọc về nhiều chủ đề: đại số, hình học, giải tích, số học và tổ hợp liên quan đến Toán Olympic và Toán thi ĐH.
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...
-
I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
-
Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
-
1) $(F_n,F_{n+1})=1$ 2) Nếu $n |m $ thì $F_n |F_m$ Ta chỉ cần chứng minh tính chất sau: $F_{m+n}=F_{m-1}F_{n+1}+F_{m}.F_{n}$ Quy nạp th...
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét