Về một bổ đề quan trọng của thầy Trần Quang Hùng

Đề bài: Cho Tam giác ABC, P bất kì. D, E, F là hình chiếu của P trên BC, CA, AB. X, Y, Z thuộc PD, PE, PF sao cho $\overline{PX}.\overline{PD}=\overline{PE}.\overline{PY}=\overline{PF}.\overline{PZ}$. Chứng minh: AX, BY, CZ đồng quy.

Giải

Trước hết ta cần chứng minh 2 bổ đề sau:

Bổ đề 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E là giao điểm của AB và CD, F điểm bất kì. Chứng minh rằng trung điểm M, N, L lần lượt của AC, EF, BD cùng thuộc một đường thẳng khi và chỉ khi F, A, D thẳng hàng.

Chứng minh 

Gọi lần lượt là trung điểm của .


Theo định lí về đường trung bình :

Tương tự :

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCE với 3 điểm F,A, D và định lý Menelaus cho tam giác XYZ với ba điểm M, N, L

$\dfrac{NX}{NY}.\dfrac{MY}{MZ}.\dfrac{LZ}{LX}=1 \Leftrightarrow \dfrac{FB}{FC}.\dfrac{AE}{AB}.\dfrac{DC}{DE}=1$
Như vậy M, N, L thẳng hàng khi và chỉ khi F, A, D thẳng hàng.
Bổ đề 2: cho tam giác ABC, một đường tròn đi qua hai điểm B,C cắt AC, AB tại D, E. Đường thẳng qua D vuông AC cắt đường thẳng qua E vuông AB tại F. Chứng minh rằng AF vuông BC. (Bổ đề này đơn giản, bạn đọc tự chứng minh).

Quay trở lại bài toán.

Gọi YZ cắt BC tại U, XZ cắt CA tại V, XY cắt AB tại W. Q, I, O là trung điểm của AU, BV, CW.

Vẽ các đường tròn đường kính AU, 

Áp dụng bổ đề 2 cho tứ giác EFYZ nội tiếp với các đường qua F vuông với PZ, qua E vuông PY cắt nhau tại A, ta có PA vuông YZ. Nếu PA cắt YZ tại T Thì T thuộc đường tròn đường kính AU ( kí hiệu là (Q)) và $\overline{PA}.\overline{PT}=\overline{PF}.\overline{PZ}$ Hay là phương tích của P đối với (Q) bằng $\overline{PF}.\overline{PZ}$ Tương tự phương tích của P đối với (I) bằng $\overline{PX}.\overline{PD}$, ... mà $\overline{PX}.\overline{PD}=\overline{PE}.\overline{PY}=\overline{PF}.\overline{PZ}$ Nên P có cùng phương tích với (Q), (I), (O).

Vẽ các đường cao AM, BK, CL cắt nhau tại H. Ta lại có phương tích của H đối với (Q), (I), (O) lần lượt là: $\overline{HA}.\overline{HM}, \overline{HB}.\overline{HK}, \overline{HC}.\overline{HL}$

Mà: $\overline{HA}.\overline{HM}= \overline{HB}.\overline{HK}= \overline{HC}.\overline{HL}$

Nên H có cùng phương tích với 3 đường tròn.

Như vậy 3 đường tròn trên đồng trục PH nên tâm của chúng là Q, I, O thẳng hàng.

Giả sử VW cắt AQ tại U'. Áp dụng bổ đề 1 cho tứ giác BCVW với 3 trung điểm Q, I, O thẳng hàng, ta được U', B, C thẳng hàng hay U trùng với U'.

Nhưng vậy U, V, W thẳng hàng.

Áp dụng định lý Desargues cho tam giác ABC và tam giác XYZ ta có AX, BY, CZ đồng quy. Ta có điều phải chứng minh $\blacksquare $